на мою Web-страницу | InformChaos Lab | ИРЭ РАН | E-mail: chaos@mail.cplire.ru


Исследование решеток отображений

Юрий В. Андреев

Институт радиотехники и электроники РАН
103907, Москва, ул. Моховая, 11


Здесь можно найти описание исследования решеток отображений с небольшим количеством связей, результаты, а также программы для MATLAB, использованные в этой работе.

- Описание моделей
- Отображения
- Типы связей
- Устойчивость глобального синхронного режима
- Решетки с локальными связями
- Хаотические кластеры

- Глобальный синхронный режим в решетках различной размерности
- Глобальный синхронный режим в больших решетках
- Большие локальные окрестности
- Статические и динамические нелокальные связи
- Решетка с внешним управлением (пейсмейкером)


Модели решеток

Большая часть этого исследования проведена на модели двумерной решетки отображений с локальными связями. При этом в локальную окрестность узла радиуса R включаются все узлы, отстоящие от него не более чем на расстояние R по одному из измерений. Таким образом, окрестность радиуса 1 имеет размер 3х3 и помимо самого узла включает в себя еще 8 ближайших соседей, как показано на рисунке. Окрестность радиуса 2 имеет размер, соответственно, 5х5 и включает 24 соседа.

Двумерная решетка с локальными связямиЛокальная окрестность радиуса 1

Вверх

Отображения

Вверх

Типы связей

Рассмотрим подробнее наиболее употребительные типы связи. Ансамбль P идентичных одномерных отображений вида x(t+1) = f(x(t)), где t — дискретное время, можно связать следующим образом

 ,   i = 1, …, P, (1)

где aij — коэффициент связи i-го отображения с j-ым, а A = ║aij— матрица связей ансамбля (1). Этот тип связи называют нелинейным, диссипативным и т.п. Среднее поле ансамбля здесь представлено нелинейным членом.

Другой тип связи — линейный (или диффузионный)

 ,   i = 1, …, P, (2)

где связь элементов ансамбля представлена линейным членом.

Иногда также применяется связь вида

 ,   i = 1, …, P, (3)

однако она эквивалентна типу связи (1) (см. Приложение), поэтому самостоятельного значения не имеет и в дальнейшем не рассматривается.

Вверх

Устойчивость глобального синхронного режима

Вверх

Решетки с локальными связями

Так выглядят типичные режимы в двумерных решетках размера 32x32

α = 0.1

α = 0.3

α = 0.5

α = 1.0

Вверх

Хаотические кластеры

Вверх

Глобальный синхронный режим в решетках различной размерности

Вверх

Большие локальные окрестности

Вверх

Статические и динамические нелокальные связи

Вверх

Решетка с внешним управлением (пейсмейкером)

Stability condition

logistic maps with m = 4: Lyapunov exponent l = ln2, so the condition for the synchronous spatial mode is b < 0.5

Induced motion in a system of two logistic maps

Lyapunov coefficient of the trajectory induced in the second map

range I = [0.5,1.0] — synchronous mode, l* = ln(1–b) + l, l = ln2

range II = [0.332..., 0.5] — "hidden" synchronization

range III = [0, 0.332...] — desynchronization

 

Attractor of zone II: phase portrait and attractor reconstruction in a time-delay space


ИРЭ РАН InformChaos Lab my Home Page
E-mail: chaos@mail.cplire.ru